“Matemātiskās fizikas vienādojumi” - kurss 2800 rub. no MSU, apmācība 15 nedēļas. (4 mēneši), datums: 2023. gada 30. novembris.
Literārs Mistrojums / / December 02, 2023
Kurss ir paredzēts bakalauriem, maģistriem un speciālistiem, kas specializējas matemātikas, inženierzinātņu vai dabaszinātņu disciplīnās, kā arī augstskolu pasniedzējiem. Kursa mērķis ir iepazīstināt studentu ar virkni klasisku jautājumu vienādojumu jomā ar matemātisko fiziku un iemācīt studentam šādu vienādojumu izpētes pamatmetodes. Kurss aptver klasisko materiālu par matemātiskās fizikas vienādojumiem (daļējiem diferenciālvienādojumiem) viena studiju semestra ietvaros. Sadaļas “Pirmās kārtas lineārie un kvazilineārie vienādojumi”, “Lineāro vienādojumu klasifikācija”, “Viļņu vienādojums”, "Paraboliskais vienādojums", "Fundamentālie risinājumi", "Laplasa vienādojums". Iepazīsimies ar klasiskajiem problēmu formulējumiem - Košī problēmu, robežu problēma. Apgūsim vienādojumu izpētes pamatmetodes - tiešo integrāciju, atrisinājumu turpināšanas metodi, Furjē metodi, fundamentālo risinājumu metodi, potenciālu metodi. Mēs bieži atcerēsimies šo vienādojumu atvasināšanu matemātiskās fizikas problēmās un mūsu modeļu pielietojamības robežas.
Studiju forma
Neklātienes kursi, izmantojot tālmācības tehnoloģijas
Uzņemšanas prasības
VO vai SPO pieejamība
2
protamsFizikālo un matemātikas zinātņu doktors, profesora amats: M.V. Lomonosova vārdā nosauktās Maskavas Valsts universitātes Kosmosa pētniecības fakultātes Fundamentālās un lietišķās matemātikas katedras profesors
1. Pirmā tikšanās.
Ievadvārds. Pamatprincipi darbam ar matemātiskās fizikas vienādojumiem. Vienkāršu vienādojumu piemēri. Klasifikācija. Vienkāršu vienādojumu atrisināšana, reducējot tos līdz parastajiem diferenciālvienādojumiem. Mainīgo aizstāšana vienādojumā.
2. Pirmās kārtas vienādojumi – lineārie un kvazilineārie.
Lineārie vienādojumi. Piemērota aizvietotāja atrašana - pirmās kārtas parasto diferenciālvienādojumu sistēmas sastādīšana un atrisināšana. Pirmie sistēmas integrāļi. Raksturlielumi. Kvazilineārie vienādojumi. Risinājuma atrašana netiešā veidā.
3. Cauchy problēma. Lineāro otrās kārtas vienādojumu klasifikācija.
Košī problēmas paziņojums. Teorēma par Košī problēmas risinājuma esamību un unikalitāti. Otrās kārtas lineāro vienādojumu klasifikācija ar nemainīgiem koeficientiem. Samazinājums līdz kanoniskajai formai.
4. Hiperboliskie, paraboliskie un eliptiskie vienādojumi.
Otrās kārtas lineāro vienādojumu klasifikācija ar mainīgiem koeficientiem plaknē. Hiperbolisks, parabolisks un eliptisks tips. Hiperbolisko vienādojumu risināšana. Problēmas ar sākuma un robežnosacījumiem.
5. Virknes vienādojums.
Viendimensionāls viļņu vienādojums uz visas ass. Vilnis uz priekšu un atpakaļ. d'Alemberta formula. Duhamela integrālis. Robežnosacījumi vienādojumam uz pusass. Robežnosacījumu pamatveidi. Risinājuma turpinājums. Galīga segmenta gadījums.
6. Furjē metode, kā piemēru izmantojot virknes vienādojumu.
Furjē metodes ideja. Pirmais solis ir atrast pamatu. Otrais solis ir Furjē koeficientu parasto diferenciālvienādojumu iegūšana. Trešais solis ir sākotnējo datu ņemšana vērā. Sēriju konverģence.
7. Difūzijas vienādojums (galīgs segments).
Vienādojuma atvasināšana. Problēmu izklāsts (sākotnējie un robežnosacījumi). Furjē metode. Labās puses un neviendabīguma ņemšana vērā robežnosacījumos. Sēriju konverģence.
8. Difūzijas vienādojums (visa ass).
Furjē transformācija, inversijas formula. Vienādojuma atrisināšana, izmantojot Furjē transformāciju. Teorēma – metodes pamatojums (divi gadījumi). Puasona formula. Vienādojuma gadījums ar labo pusi.
9. Vispārinātas funkcijas.
Puasona formulas rakstīšana kā konvolūcija. Ieraksts siltuma vienādojuma risinājuma formā uz ierobežotu segmentu. Švarca klase. Funkciju piemēri no klases. Vispārināto funkciju definīcija, saistība ar klasiskajām funkcijām. Vispārinātas funkcijas reizināšana ar pamatfunkciju, diferenciācija. Vispārināto funkciju konverģence. Vispārējo funkciju piemēri.
10. Darbs ar vispārīgām funkcijām.
Parasto diferenciālvienādojumu risināšana vispārinātās funkcijās. Vispārināto funkciju Furjē transformācija. Konvolūcija. Tiešais produkts. Vispārējas funkcijas nesējs. Nehomogēnā viendimensionālā siltuma vienādojuma atrisināšana, izmantojot fundamentālo risinājumu. Parasta diferenciāļa operatora fundamentāls risinājums uz intervālu.
11. Fundamentāli risinājumi.
Puasona formulas atvasinājums daudzdimensionālajam siltuma vienādojumam. Kērhofa formulas atvasinājums. Puasona formulas atvasinājums viļņu vienādojumam. Problēmu risināšana, izmantojot mainīgo atdalīšanas metodi, superpozīcijas metodi.
12. Laplasa vienādojums.
Laplasa vienādojuma atvasināšana. Vektora lauks – potenciāls, plūsma caur virsmu. Apjoma potenciāls. Vienkāršs slāņa potenciāls. Dubultā slāņa potenciāls. Logaritmiskais potenciāls.
13. Dirihlē problēma, Neimana problēma un Grīna funkcija.
Harmoniskās funkcijas. Vāja ekstrēma princips. Harnaka teorēma. Stingrs maksimuma princips. Unikalitātes teorēma. Vidējās vērtības teorēma. Bezgalīgs gludums. Liuvila teorēma. Grīna formula. Grīna funkcija, tās īpašības. Puasona problēmas risinājums ar Dirihlē nosacījumiem, izmantojot Grīna funkciju. Citas robežvērtības problēmas. Grīna funkcijas konstruēšana ar refleksijas metodi.
14.Daudzdimensiju Furjē metode.
Problēmu risināšana, izmantojot Furjē metodi. Dažādi robežnosacījumi. Besela funkcijas. Leģendārais polinoms. Pārskats par pabeigto kursu. Apkopojot.